Équations générales des milieux continus

Présentation du cours

Ce cours établit les équations générales valables pour tous les milieux continus : les solides déformables et les fluides compressibles ou non. En ce siècle où le temps alloué à l'enseignement scientifique est compté, ce cours devrait être vu comme un préalable commun aux deux spécialités, supprimant ainsi les inévitables redites quand les deux cours sont enseignés séparément. La séparation entre les deux spécialités n'apparaît qu'au moment où l'on introduit une loi de comportement.

Le premier chapitre est consacré à des définitions fondamentales, dont notamment les deux sortes de domaines utilisés en mécanique des milieux continus qui, lorsqu'ils ne sont pas bien précisés, sont à l'origine de nombreux malentendus entre "fluidistes" et "solidiens".

Les quatre chapitres suivants déclinent chacun la traduction des quatre principes fondamentaux de la physique classique pour un milieu continu :

1. le principe de la conservation de la masse,
2. le principe fondamental de la mécanique,
3. le principe de la conservation de l'énergie (ou premier principe de la thermodynamique),
4. le second principe de la thermodynamique.

Chacun de ces principes est écrit sous forme globale pour des domaines finis et sous forme locale (équations différentielles).

En ce qui concerne le chapitre sur les équations de la mécanique proprement dite, j'ai fait le choix pédagogique de m'appuyer sur les théorèmes généraux tels qu'ils sont établis classiquement en mécanique (dite générale !) du point matériel ou des systèmes de points matériels :

1. le théorème de la résultante dynamique,
2. le théorème du moment dynamique,
3. le théorème de la puissance cinétique.

Hormis des connaissances suffisantes en algèbre et analyse tensorielles et en cinématique des milieux continus , ces trois théorèmes généraux sont les seuls prérequis en mécanique nécessaires et sufffisants à la compréhension du cours. Ce choix délibéré assure une continuité pédagogique avec les études antérieures, ce qui me semble préférable à commencer la mécanique des milieux continus en introduisant un nouveau principe fondamental de la mécanique : celui des travaux virtuels (ou des puissances virtuelles, comme on voudra), comme s'il fallait changer de principe fondamental de la mécanique pour faire de la mécanique sur les milieux continus. J'admets que cette dernière méthode permet d'introduire plus rapidement les méthodes de résolution numérique des problèmes, mais au détriment de la bonne compréhension de ce que sont les efforts intérieurs et extérieurs. Dans ce cours, les "principes virtuels" apparaissent donc comme des théorèmes.

Les deux derniers principes (la thermodynamique) ne sont pas toujours exposés dans les cours élémentaires de mécanique des fluides ou des solides déformables car les phénomènes thermiques y sont bien souvent ignorés (je veux croire que c'est par manque de temps). Il me semble néanmoins utile de donner toute l'importance qu'il mérite au premier principe de la thermodynamique, car dans beaucoup d'applications industrielles les phénomènes thermiques sont difficilement négligeables.

En revanche, le second principe de la thermodynamique, qui s'exprime par une inégalité, peut être ignoré dans un premier temps, car il n'intervient pas explicitement dans la résolution des problèmes, dès lors qu'une loi de comportement thermodynamiquement admisssible a été choisie. Normalement, les lois de comportement classiquement proposées satisfont au second principe automatiquement (parfois seulement sous de fortes hypothèses insuffisamment soulignées !) quelle que soit l'évolution du milieu continu. Néanmoins, outre son intérêt conceptuel, le second principe de la thermodynamique devient crucial lorsque l'on cherche à développer de nouveaux modèles de comportement. Non seulement il implique l'existence des lois de comportement, mais il est un précieux garde-fou pour éviter de construire des modèles de milieux continus thermodynamiquement absurdes, comme on a pu le faire au siècle dernier avec l'"hypoélasticité".

Dans le dernier chapitre on montre, à titre d'illustration pédagogique, comment on peut construire et justifier le modèle classique "fluide newtonien" à partir du second principe de la thermodynamique.

Bonne lecture.

Tous commentaires, critiques ou corrections sont les bienvenus à : jean.garrigues@centrale-marseille.fr.