Algèbre et analyse tensorielles

Présentation du cours

Les tenseurs sont un outil mathématique indispensable pour décrire commodément un certain nombre de grandeurs physiques introduites en mécanique des milieux continus, telles que la déformation, la vitesse de déformation ou les contraintes.
Ce cours ne traite pas véritablement de mécanique des milieux continus, il se contente de présenter d'une manière minimale mais rigoureuse l'algèbre et l'analyse tensorielles en vue de leur utilisation en mécanique des milieux continus dans le cadre de la physique classique. Il a été construit en ajoutant au fur et à mesure des besoins qui apparaissaient dans les cours de mécanique des milieux continus qui suivent.

Néanmoins, contrairement à d'autres cours sur les tenseurs pour la mécanique des milieux continus que l'on pourra trouver ailleurs, j'ai pris délibérement les deux options suivantes :

1. Je trouve personnellement inadmissible qu'on se limite à n'utiliser que des bases orthonormées dans les espaces vectoriels. Ce souci de généralité a un coût : il faut parler de variance. Le lecteur qui ne souhaite pas cette généralité pourra sans inconvénient mettre tous les indices en bas sans se poser de questions.
2. Je trouve personnellement inadmissible que, quand on décrit un champ, on se limite aux systèmes de coordonnées cartésiennes pour repérer un point dans l'espace. Le lecteur qui accepte cette limitation n'aura qu'à annuler tous les coefficients de Christoffel.

Le premier chapitre développe l'algèbre tensorielle nécessaire à la compréhension de la mécanique des milieux continus. Les opérations tensorielles et les tenseurs particuliers qui y sont présentés seront systématiquement utilisés dans les cours de mécanique des milieux continus de ce site.

Le second chapitre aborde l'étude des fonctions à valeur tensorielle et d'arguments tensoriels, et plus spécialement l'étude des fonctions isotropes. Leur utilité s'avère cruciale dans la compréhension du concept d'objectivité et dans la construction des lois de comportement.
Ces concepts sont rarement exposés dans les cours de mécanique des milieux continus car la construction des lois de comportement n'est généralement pas dans leurs objectifs : les lois de comportement y sont généralement "parachutées" sans réelle justification. Ce chapitre concerne donc surtout les lecteurs qui souhaitent comprendre pourquoi il faut des lois de comportement et comment on peut en construire.
On trouvera en annexe des démonstrations originales sur les fonctions isotropes donnant des listes d'invariants associées aux arguments tensoriels.

Le troisième chapitre aborde l'étude des champs de tenseurs et des opérateurs différentiels gradient, divergence, rotationnel et laplacien de ces champs, indispensables pour l'étude de la mécanique des milieux continus.

Je comprends que les limitations traditionnelles auxquelles j'ai renoncé dans ce cours, sont justifiées lorsque l'enseignant ne dispose pas du temps nécessaire pour faire un cours satisfaisant (j'ai pratiqué moi-même ces limitations dans mes derniers cours à l'ECM, sacrifiant ainsi, contre mon gré, à la sacro-sainte nécessité de la rapidité !). Mais puisque j'ai maintenant l'occasion d'écrire un cours propre, je ne résiste pas à l'envie de le faire.

Bonne lecture.

Tous commentaires, critiques ou corrections sont les bienvenus à : jean.garrigues@centrale-marseille.fr.